ত্রিভুজ হল একটি জ্যামিতিক আকৃতি যা তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ বিশিষ্ট হয়। এটি দুই চাপে বিভক্ত হতে পারে – সমবাহু ত্রিভুজ (তিনটি বাহু সমান) এবং বিষমবাহু ত্রিভুজ (তিনটি বাহু সমান নয়)। ত্রিভুজ হল জ্যামিতিক আকৃতির মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ একটি যা গণিতে একটি দুই চাপে বিভক্ত হয়।
ত্রিভুজ গঠিত হওয়ার পর রেখাংশ তিনটির প্রত্যেকটিকে ত্রিভুজের বাহু বলে। আর এই ত্রিভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুযায়ী, একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু দ্বারা একটি ও কেবল একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়। অন্যভাবে বললে, যে বহুভুজের কেবল তিনটি বাহু ও তিনটি শীর্ষবিন্দু থাকে তাকে ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু বলতে বোঝায়, এর যেকোনো দুইটি বাহু পরস্পর যে বিন্দুতে মিলিত হয়।
আবার বাহুর সংখ্যা বিবেচনায়, ত্রিভুজই সর্বনিম্ন বহুভুজ অর্থাৎ, এমন কোনো বহুভুজ নেই যার বাহুর সংখ্যা তিন এর কম। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
আরো পড়ুন ;- বিন্দু কাকে বলে? বিন্দুর প্রকারভেদ ও বৈশিষ্ট্য
ত্রিভুজের প্রকারভেদঃ
কোণভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার যথা:-
সমকোণী ত্রিভুজ
সূক্ষ্মকোণী “
স্থূলকোণী “
বাহুভেদে তিন প্রকার যথা:-
সমবাহু “
সমদ্বিবাহু “
বিষমবাহু “
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২* ভূমি * উচ্চতা
ত্রিভুজের পরিসীমাঃ
ত্রিভুজের পরিসীমা
ত্রিভুজের পরিসীমা = ত্রিভুজের তিন বাহুর যোগফল
সুতরাং এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, পরিসীমা হবে 3a
ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ
১। ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি, তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
আরো সহজ ভাবে বললে, ত্রিভুজের যে কোন দুটি বাহু যোগ করলে তা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় হতে হবে। যদি বড় না হয় তাহলে তা ত্রিভুজ হবে না।
২। ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর অন্তর, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি বাহু বিয়োগ করলে যেন কা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট হয়।
৩। কোন ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু আপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষ্রদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
অর্থাৎ ত্রিভুজের যে বাহুটি বড় তার বিপরীত কোণটি ও বড় হবে।
৪। কোন ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো ও পরস্পর সমান। অর্থাৎ যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তাহলে তাদের বিপরীত কোণদ্বয় ও সমান হবে।
৫। কোন ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলোও পরস্পর সমান। অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহুগুলোও সমান হয়।
৬। ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি।
বিষমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে
ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর অসমান হলে তাকে বিষমবাহুত্রিভুজ বলে। এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান নয় বলে, এর কোণ তিনটিও পরস্পর অসমান। বিষমবাহুত্রিভুজ হলো সকল ত্রিভুজের সাধারণ রূপ। অর্থাৎ বিষমবাহু ত্রিভুজের কোনো কোনো বৈশিষ্ট্যের কারণে অন্যান্য ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়। যেমন বিষমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তখন সেটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়। একইভাবে, বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমবাহুত্রিভুজ বলে।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কাকে
ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহুত্রিভুজ বলে। কোনো কোনো ক্ষেত্রে বলা হয়, যে ত্রিভুজের কেবল দুইটি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহুত্রিভুজ বলে। আবার, কোনো কোনো ক্ষেত্রে বলা হয়, যে ত্রিভুজের কমপক্ষে দুইটি বাহু পরস্পর সমান, তাই সমদ্বিবাহুত্রিভুজ। এক্ষেত্রে, সকল সমবাহু ত্রিভুজকে সমদ্বিবাহুত্রিভুজ বলা যায়।
অন্যভাবে বলা যায়, যে ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহুত্রিভুজ বলে। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণের মান জানা থাকলে অপর কোণ দুইটির পরিমাপ নির্ণয় করা যায়।
সমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে তাকে সমবাহুত্রিভুজ বলে। এটি একটি সুষমত্রিভুজ কারণ এর বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান। আবার, এর বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য সমান বলে কোণ তিনটিও পরস্পর সমান।অন্যভাবে বললে, যে ত্রিভুজের কোণ তিনটি পরস্পর সমান তাকে সমবাহুত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০°। ফলে কোণগুলো পরস্পর সমান হলে, এর প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০° হয়। তাই সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০°।
অতএব বলা যায়, যে ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০° তাকে সমবাহুত্রিভুজ বলে। তাছাড়া, সমবাহুত্রিভুজ একটি সুষম বহুভুজ যার বাহুর সংখ্যা তিন। সুষম বহুভুজ হওয়ার কারণ হলো এই বহুভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
ত্রিভুজের তিনটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ হলে তাকে সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ বলে। সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয় পরস্পর সমান হতে পারে; আবার বাহুত্রয় অসমানও হতে পারে। তবে, বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে তখন এটি সমবাহুত্রিভুজ হয়ে যায়।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হলে তখন সেইটি সমদ্বিবাহুত্রিভুজ হয়ে যায়। একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র আঁকা যায় যেখানে প্রতিটি বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর অংশ হয় এবং বর্গক্ষেত্রের অপর দুইটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অবস্থিত।
স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ হলে তাকে স্থূলকোণীত্রিভুজ বলে। একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের কেবল একটি স্থূলকোণ থাকতে পারে।এই ত্রিভুজের স্থূলকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ। আবার এই ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুই বৃহত্তম বাহু। তাছাড়া, ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০° বলে একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণ ছাড়া অপর দুইটি সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি এক সমকোণ অপেক্ষা কম।
সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে সমকোণীত্রিভুজ বলে। ১ সমকোণ = ৯০°। সুতরাং, যে ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ ৯০° তাই সমকোণীত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে এবং অতিভুজই সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু। এই ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটি পরস্পর পূরক কোণ কারণ এই কোণ দুইটির সমষ্টি ৯০°। সমকোণী ত্রিভুজের উপর ভিত্তি করে পিথাগোরাসের উপপাদ্য গড়ে উঠেছে। এই ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে। তাছাড়া, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটিকে লম্ব ও ভূমি বলে।
বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
যে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান নয় তাকে বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ বলে। আবার বলা যায়, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের কোণ তিনটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ তাকে বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ বলে।
বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
যে স্থূলকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু স্থূলকোণীত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে বিষমবাহু স্থূলকোণীত্রিভুজ বলে।
বিষমবাহু স্থূলকোণীত্রিভুজ একইসাথে সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ এবং বিষমবাহুত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান বলে, কোণ তিনটিও পরস্পর সমান নয়।
বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
যে সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজবলে। অন্যভাবে বললে, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ তাকে বিষমবাহু সমকোণীত্রিভুজ বলে।
সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
যে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ বলে। আবার বলা যায়, যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ তাকে সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ বলে।
সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
একদিকে যেমন সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ; একই সাথে এটি একটি সমদ্বিবাহুত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান; ফলে এর সমান বাহু দুইটির বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান। এই ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ জানা থাকলে অন্য কোণ দুইটির পরিমাপ নির্ণয় করা যায়।
সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
স্থূলকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু স্থূলকোণীত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বলা যায়, যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে সমদ্বিবাহু স্থূলকোণীত্রিভুজ বলে। সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজটির নাম বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, এটি একদিকে যেমন একটি স্থূলকোণীত্রিভুজ; একই সাথে এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজও বটে। আবার, এই ত্রিভুজের স্থূলকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান; ফলে এর সমান বাহু দুইটির বিপরীত সূক্ষ্মকোণ কোণ দুইটির পরিমাপও পরস্পর সমান। সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুই ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু।
তির্যক ত্রিভুজ কাকে বলে
ত্রিভুজের কোনো কোণের পরিমাপ এক সমকোণ বা ৯০° না থাকলে সেই ত্রিভুজকে তির্যক ত্রিভুজ বলে। তির্যক শব্দটির অর্থ হেলানো অর্থাৎ, খাড়া নয় এমন। সমকোণের বাহুদ্বয় একটির উপর আরেকটি ঠিক খাড়াভাবে অবস্থান করে। তাই সমকোণী ত্রিভুজের বাহুদ্বয় একটি আরেকটি বাহুর উপর খাড়াভাবে অবস্থান করে।
এজন্য কোনো সমকোণীত্রিভুজ কখনও তির্যকত্রিভুজ নয়। সকল সূক্ষ্মকোণীত্রিভুজ ও স্থূলকোণীত্রিভুজ – এরা এক-একটি তির্যকত্রিভুজ। আর সমকোণীত্রিভুজ, বিষমবাহু সমকোণীত্রিভুজ ও সমদ্বিবাহু সমকোণীত্রিভুজ – এদের কোনোটিই তির্যকত্রিভুজ নয়; কারণ এই ত্রিভুজগুলোর প্রত্যেকটির একটি কোণ সমকোণ, ফলে ত্রিভুজগুলোর একটি বাহু আরেকটির উপর খাড়াভাবে অবস্থান করে। অতএব, সমকোণী ত্রিভুজ নয়, এমন সকল ত্রিভুজই তির্যক ত্রিভুজ
সদৃশকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সদৃশকোণীত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°। ফলে, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটির তৃতীয় কোণের পরিমাপও পরস্পর সমান হয়।
সর্বসম ত্রিভুজ কাকে বলে
দুইটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সর্বসম ত্রিভুজ বলে। সর্বসম শব্দটির অর্থ হলো সবকিছু সমান।
অতএব, দুইটি সর্বসম ত্রিভুজের একটির সবকিছু অপরটির অনুরপ সবকিছুর সমান। এরূপ একটি ত্রিভুজকে অপরটির উপর স্থাপন করলে করলে সমাপতিত হয়; অর্থাৎ একটি ত্রিভুজকে আরেকটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে, ত্রিভুজ দুইটিকে একটি ত্রিভুজ বলে মনে হবে। দুইটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হলে তারা অবশ্যই সদৃশকোণীত্রিভুজ। কিন্তু দুইটি সদৃশকোণীত্রিভুজ সর্বক্ষেত্রে সর্বসম নাও হতে পারে।
বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ কাকে বলে
একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে ত্রিভুজটিকে বৃত্তে অন্তর্লিখিতত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত যেকোনো তিনটি বিন্দু পরস্পর যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তাকে বৃত্তে অন্তর্লিখিতত্রিভুজ বলে।
ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এবং অন্তঃস্থ কোণ
বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। এই কোণের সন্নিহিত কোণটি ছাড়া ত্রিভুজের অপর দুইটি কোণকে এই বহিঃস্থ কোণের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলা হয়। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান এবং তা প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।
সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি হবে।
- সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অবশিষ্ট দুইটি কোণের প্রত্যেকটি কোণই এক একটি সূক্ষ্মকোণ।
- ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া সূক্ষ্মকোণ দুইটির সমষ্টি অবশ্যই ৯০°।
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হওয়ার কারণে কোনো ত্রিভুজের একাধিক সমকোণ থাকতে পারে না।
- সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।
- সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের যে কোন একটিকে লম্ব এবং অপরটিকে ভূমি ধরতে বলা হয়। অর্থাৎ লম্ব ভূমি নির্দিষ্ট নয়।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন বাহুদ্বয় সূক্ষ্মকোণ হয়।
- সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ পরস্পর পূরক।
- কোন ত্রিভুজের একটি কোন যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী।
সূচীপত্র
